Question

已知函數f(x)=x³+ax²+bx+c，過曲線y=f(x)上的點P(1，f(1))的切線方程為y=3x+1．

       (Ⅰ)若函數f(x)在x=－2處有極值，求f(x)的表達式；

       (Ⅱ)若函數y=f(x)在區間[－2,1]上單調遞增，求實數b的取值范圍．

Answer 1

（1）f(x)=x³+2x²－4x+5（2）b≥0

解析:

(Ⅰ )由f(x)=x³+ax²+bx+c，求導數得f′(x)=3x²+2ax+b．

過y=f(x)上的點P(1，f(1))的切線方程為：y－f(1)=f′(1)(x－1)，

即y－(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x－1)．

而過y=f(x)上的點P(1，f(1)) 的切線方程為y=3x+1，

故即

∵f(x)在x=－2處有極值，故f′(－2)=0，∴－4a+b=－12，③

由①②③得a=2，b=－4，c=5．

∴f(x)=x³+2x²－4x+5．

(Ⅱ )解：y=f(x)在[－2,1]上單調遞增，又f′(x)=3x²+2ax+b，由①知2a+b=0．

依題意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x²－bx+b≥0．

，可得b(x－1)≤3x²．

當x=1時，不等式顯然成立．

當x≠1時，x－1<0，∴b≥．

∵=3(x－1)++6≤－6+6=0         ∴b≥0