Question

設A是單位圓x²＋y²＝1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)．當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C．

(Ⅰ)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標；

(Ⅱ)過原點且斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H．是否存在m，使得對任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(Ⅰ)如圖1，設，，則由， 　　可得，，所以，．① 　　因為點在單位圓上運動，所以．② 　　將①式代入②式即得所求曲線的方程為． 　　因為，所以 　　當時，曲線是焦點在軸上的橢圓， 　　兩焦點坐標分別為，； 　　當時，曲線是焦點在軸上的橢圓， 　　兩焦點坐標分別為，． 　　(Ⅱ)解法1：如圖2、3，，設，，則，， 　　直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得 　　． 　　依題意可知此方程的兩根為，，于是由韋達定理可得 　　，即． 　　因為點H在直線QN上，所以． 　　于是，． 　　而等價于， 　　即，又，得， 　　故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意的，都有． 　　解法2：如圖2、3，，設，，則，， 　　因為，兩點在橢圓上，所以兩式相減可得 　　．③ 　　依題意，由點在第一象限可知，點也在第一象限，且，不重合， 　　故．于是由③式可得 　　．④ 　　又，，三點共線，所以，即． 　　于是由④式可得． 　　而等價于，即，又，得， 　　故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意的，都有．

提示：

本題主要考察求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關系，要求能正確理解橢圓的標準方程及其幾何性質，并能熟練運用代數方法解決幾何問題，對運算能力有較高要求．