Question

已知三次函數為奇函數，且在點的切線方程為
(1)求函數的表達式；
(2)已知數列的各項都是正數,且對于,都有,求數列的首項和通項公式；
(3)在(2)的條件下，若數列滿足,求數列的最小值.

Answer 1

（1）（2）
（3）①若時, 數列的最小值為當時,
②若時, 數列的最小值為, 當時或

③若時, 數列的最小值為,當時,
④若時,數列的最小值為,當時

試題分析：解：(1) ∵ 為奇函數， ，
即 
                             3分
，又因為在點的切線方程為
，                4分
(2)由題意可知：....
  + 
所以             ①
由①式可得                                 5分
當，      ②
由①-②可得:

∵為正數數列    ..③            6分
                    ④
由③-④可得: 
∵＞0，,
是以首項為1，公差為1的等差數列,              8分
                                       9分
（注意：學生可能通過列舉然后猜測出，扣2分，即得7分）
(3) ∵,
令,                    10分
(1)當時,數列的最小值為當時,      11分
(2)當時
①若時, 數列的最小值為當時,
②若時, 數列的最小值為, 當時或

③若時, 數列的最小值為,當時,
④若時,數列的最小值為,當時
                         14分
點評：解決的關鍵是根據數列的性質以及數列的前n想項和與通項公式的關系來求解，屬于基礎題。