Question

已知，設命題：函數在區間上與軸有兩個不同的交點；命題：在區間上有最小值．若是真命題，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：先由的真假性確定命題為假命題，為真命題，然后就命題為真命題進行求解，結合二次函數的零點分布來討論，最后在取答案時取參數范圍的在上的補集；對命題為真命題對的范圍進行求解，對于函數解析式化為分段函數，利用分段函數的單調性來考查.

試題解析：要使函數在上與軸有兩個不同的交點，

必須                                   2分

即                              4分

解得．

所以當時，函數在上與軸有兩個不同的交點． 5分

下面求在上有最小值時的取值范圍：

方法1：因為                      6分

①當時，在和上單調遞減，在上無最小值；     7分

②當時，在上有最小值；         8分

③當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

在上有最小值．                      9分

所以當時，函數在上有最小值．                 10分

方法2：因為                      6分

因為，所以．

所以函數是單調遞減的．                  7分

要使在上有最小值，必須使在上單調遞增或為常數．  8分

即，即．                                9分

所以當時，函數在上有最小值．                  10分

若是真命題，則是真命題且是真命題，即是假命題且是真命題．     11分

所以                             12分

解得或．                            13分

故實數的取值范圍為．                      14分

考點：復合命題真假性的判斷、二次函數的零點分布、分段含參函數的單調性