Question

已知曲線，過上一點作一斜率為的直線交曲線于另一點（且，點列的橫坐標構成數列，其中.
（1）求與的關系式；
（2）令，求證：數列是等比數列；
（3）若（為非零整數，），試確定的值，使得對任意，都有成立.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）先根據直線的斜率為，利用斜率公式與構建等式，通過化簡得到與的關系式；（2）在（1）的基礎上，將代入，通過化簡運算得出與之間的等量關系，然后根據等比數列的定義證明數列是等比數列；（3）先求出數列的通項公式，進而求出數列的通項公式，將進行作差得到，對為正奇數和正偶數進行分類討論，結合參數分離法求出在相應條件的取值范圍，最終再將各范圍取交集，從而確定非零整數的值.
試題解析：（1）由題意知，所以；
（2）由（1）知，
，
，故數列是以為公比的等比數列；
（3），，
，，
當為正奇數時，則有，
由于數列對任意正奇數單調遞增，故當時，取最小值，所以；
當為正偶數時，則有，
而數列對任意正偶數單調遞減，故當時，取最大值，所以，
綜上所述，，由于為非零整數，因此