Question

（2013•合肥二模）定義域為R的奇函數f（x ）的圖象關于直線．x=1對稱，當x∈[0，1]時，f（x）=x，方程 f（x）=log₂₀₁₃x實數根的個數為
（　　）

A．1006

B．1007

C．2012

D．2014

Answer 1

分析：可根據定義在R上的奇函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱⇒f（x+4）=f（x），再利用0≤x≤1時，f（x）=x，數形結合，可求得方程f（x）=log₂₀₁₃x的所有實根的個數．

解答：解：∵函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）為奇函數，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4，
又定義在R上的奇函數，故f（0）=0，
f（x）=log₂₀₁₃x實數根的個數，即y=f（x）和y=log₂₀₁₃x的交點個數，
同一坐標系里作出y=f（x）和y=log₂₀₁₃x的圖象，
∵當0＜x≤4時，圖象有1個交點，當4＜x≤8時，圖象有2個交點，…；
根據周期性，y=f（x）和y=log₂₀₁₃x的圖象有1+502×2+1=1006個交點．
故選A．

點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷及奇偶函數圖象的對稱性，關鍵在于判斷f（x）的周期為4，再結合“0＜x≤1時，f（x）=x”與奇函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，數形結合予以解決，屬于中檔題．