Question

如圖，在以點O為圓心，AB為直徑的半圓中，D為半圓弧的中心，P為半圓弧上一點，且AB=4，∠POB=30°，雙曲線C以A，B為焦點且經過點P．
（1）建立適當的平面直角坐標系，求雙曲線C的方程；
（2）設過點D的直線l與雙曲線C相交于不同兩點E、F，若△OEF的面積不小于2

2

，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

（1）方法一：以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，
則點A（-2，0），B（2，0），P(

3

，1)．
設雙曲線實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，
則2a=|PA|-|PB|=

(2+ 3 )2+12

-

(2- 3 )2+12

=2

2

，2c=|AB|=4．
所以a=

2

，c=2，從而b²=c²-a²=2．
故雙曲線C的方程是

x2

2

-

y2

2

=1…（6分）
方法二：以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，
則點A（-2，0），B（2，0），P(

3

，1)．
設雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
則

a2+b2=4 ( 3 )2 a2 - 1 b2 =1

，
解得a²=b²=2，故雙曲線C的方程是

x2

2

-

y2

2

=1．…（6分）
（2）據題意可設直線l的方程為y=kx+2，
代入雙曲線C的方程得，x²-（kx+2）²=2，即（1-k²）x²-4kx-6=0．
因為直線l與雙曲線C相交于不同兩點E、F，
則

1-k2≠0 △=(-4k)2+4×6(1-k2)＞0

，即

k≠±1 - 3 ＜k＜ 3

，
設點E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
則x1+x2=

4k

1-k2

，x1x2=-

6

1-k2

．
所以|EF|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

．
又原點O到直線l的距離d=

2

1+k2

．（11分）
所以S△DEF=

1

2

d•|EF|=

1

2

•

2

1+k2

•

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

=

2 2 3-k2

|1-k2|

．
因為S△OEF≥2

2

，則

2 2 3-k2

|1-k2|

≥2

2

?k4-k2-2≤0，
解得-

2

≤k≤

2

．
綜上分析，直線l的斜率的取值范圍是[-

2

，-1)∪(-1，1)∪(1，

2

]…（14分）