Question

如圖，F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個焦點，A、B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為

1

2

，點C在x軸上，BC⊥BF，由B、C、F三點確定的圓M恰好與直線x+

3

y+3=0相切．
（I）求橢圓的方程；
（II）過F作一條與兩坐標軸都不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點，若在x軸上存在一點N（x₀，0），使得直線NP與直線NQ關于x軸對稱，求x₀的值．

Answer 1

（I）由題意可知F（-c，0）
∵e=

1

2

，∴b=

3

c，即B（0，

3

c)，∴kBF=

3 c

0-(-c)

=

3

又∵BC⊥BF，∴kBC=-

3

3

，
∴C（3c，0），∴圓M的圓心坐標為（c，0），半徑為2c由直線x+

3

y+3=0與圓M相切可得

|c+3|

1+( 3 )2

=2c，
∴c=1，∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

（II）由題意可設直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵直線NP與直線NQ關于x軸對稱，
∴k_NP=-k_NQ，即

y1

x1-x0

=-

y2

x2-x0

∴

k(x1+1)

x1-x0

=-

k(x2+1)

x2-x0

，∴x0=

x1+x2+2x1x2

x1+x2+2

∵

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，∴3x²+4k²（x+1）²=12
∴（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
∴x0=

- 8k2 3+4k2 + 8k2-24 3+4k2

2- 8k2 3+4k2

=-4