Question

設橢圓中心在坐標原點，焦點在x軸上，一個頂點坐標為（2，0），離心率為

3

2

．
（1）求這個橢圓的方程；
（2）若這個橢圓左焦點為F₁，右焦點為F₂，過F₁且斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點，求△ABF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+ 

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，有條件求得a 和c，從而求得b，進而得到橢圓的方程．
（2）把直線AB的方程 代入橢圓的方程化簡，利用根與系數的關系，求出|y₁-y₂|的值，利用S_△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2=

1

2

|F1F2|•|y1|+

1

2

|F1F2|•|y2| 求得結果．

解答：解：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+ 

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，
由題意，a=2，

c

a

=

3

2

，∴c=

3

，b=1，
∴橢圓的方程為

x2

4

+ y2= 1．
（2）左焦點F₁（-

3

，0），右焦點F₂（

3

，0），設A（x₁，y₁ ），
B（x₂，y₂），
則直線AB的方程為 y=x+

3

．
由

y=x+ 3 x2 4 +y2= 1

，消x得 5y²-2

3

y-1=0．∴y₁+y₂=

2 3

5

，y₁y₂=-

1

5

，
∴|y₁-y₂|=

|y1+y2|2-4y1y2

=

4 2

5

．
∴S_△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2=

1

2

|F1F2|•|y1|+

1

2

|F1F2|•|y2| 
=

1

2

|F1F2|•|y1 - y2|=

1

2

×2

3

×

4 2

5

=

4 6

5

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質的應用，利用 S_△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2 是解題的難點．