Question

已知函數，

（1）若x=1時取得極值，求實數的值；

（2）當時，求在上的最小值；

（3）若對任意，直線都不是曲線的切線，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）符合。

（2） ；

（3）.

【解析】

試題分析：（1）∵，∴，得          

當時， ； 當時，。

∴在時取得極小值，故符合。               4分       

（2）當時，對恒成立，在上單調遞增，

∴                          

當時，由得，

若，則，∴在上單調遞減。

若，則，∴在上單調遞增。          

∴在時取得極小值，也是最小值，即。

綜上所述，        8分           

（3）∵任意，直線都不是曲線的切線，

∴對恒成立，即的最小值大于，

而的最小值為，∴，故.  12分

考點：利用導數研究函數的單調性、極值，導數的幾何意義。

點評：中檔題，利用導數研究函數的單調性、極值，是導數應用的基本問題，主要依據“在給定區間，導函數值非負，函數為增函數；導函數值非正，函數為減函數”。確定函數的極值，遵循“求導數，求駐點，研究單調性，求極值”。不等式恒成立問題，往往通過構造函數，研究函數的最值，使問題得到解決。