Question

（理科）設函數f（x）的定義域為{x|x≠0}，值域為R且同時滿足下列條件：
（1）對于任意非零實數x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）；
（2）對于任意正數x₁，x₂，且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．
出符合上述條件的一個函數f（x）

=log₂|x|（答案不唯一）

．

Answer 1

分析：根據題意，聯系常見的函數，分析條件（1），有數函數符合f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），分析（2）可得，f（x）為增函數，綜合（1）、（2）可得f（x）的底數大于1的對數函數，據此即可寫出答案．

解答：解：根據題意，
對于（1），要求函數的滿足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）的運算律，分析可得對數函數符合，
對于（2），若

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，則f（x）在正實數集上為增函數，
對于對數函數，當底數大于1時，為增函數，
則符合條件（1）（2）的為底數大于1的對數函數，如y=log₂|x|，y=log₃|x|，y=lg|x|，等
故答案為log₂|x|，（答案不唯一，只要為底數大于1的對數函數即可）

點評：本題考查對數函數的性質，是開放性題目，關鍵是由f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）分析出該函數與對數函數有關．