Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為8，E、F分別為AD₁，CD₁中點，G、H分別為棱DA，DC上動點，且EH⊥FG．
（1）求GH長的取值范圍；
（2）當GH取得最小值時，求證：EH與FG共面；并求出此時EH與FG的交點P到直線B₁B的距離．

Answer 1

分析：（1）以D為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，設DG=a，DH=b可得E、F、G、H各點的坐標，得到

EH

、

FG

坐標，根據

EH

•

FG

=0，解出b=4-a，根據距離公式得到GH=

a2+b2

=

2(a-2)2+8

，結合二次函數的性質即可得到GH長的取值范圍；
（2）由（1）知當a=b=2時，GH取得最小值．由此算出EF∥GH，即EH與FG共面，得

EP

=(-

8

3

，   

4

3

，   -

8

3

)，設P（x₁，y₁，z₁），得到

EP

=（x₁-4，y，z₁-4），從而建立關于x₁、y₁、z₁的方程組，解之得P在ABCD平面上的射影M的坐標，結合兩點間的距離公式即可算出P到直線B₁B的距離．

解答：解：（1）以D為原點，DA、DC、DD₁分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．
設DG=a，DH=b，可得
E（4，0，4），F（0，4，4），G（a，0，0），H（0，b，0）．
∴

EH

=（-4，b，-4），

FG

=（a，-4，-4）．
∵EH⊥FG，∴

EH

•

FG

=-4a-4b+16=0，則a+b=4，即b=4-a．
又G₁H在棱DA，DC上，則0≤a≤8，0≤b≤8，從而0≤a≤4．
∴GH=

a2+b2

=

a2+(4-a)2

=

2(a-2)2+8

．
∴GH取值范圍是[2

2

，4]．        …（6分）
（2）當GH=2

2

時，a=2，b=2．
∴

GH

=（-2，2，0），

EF

=（-4，4，0），即

EF

=2

GH

．
∴EF∥GH，即EH與FG共面．
所以EF=2GH，EF∥GH，則

EP

=

2

3

EH

=(-

8

3

，   

4

3

，   -

8

3

)．
設P（x₁，y₁，z₁），則

EP

=（x₁-4，y，z₁-4）．
∴x₁=

4

3

，y₁=

4

3

，z₁=

4

3

，即P（

4

3

，

4

3

，

4

3

）．
則P（

4

3

，

4

3

，

4

3

）在底面上ABCD上的射影為M（

4

3

，

4

3

，0）．
又∵B（8，8，0），
∴|MB|=

(8- 4 3 )2+(8- 4 3 )2+(0-0)2

=

20

3

2

，即為點P到直線B₁B的距離．…（12分）

點評：本題在正方體中求點到直線的距離，著重考查了空間直角坐標系的建立、利用空間向量的方法求點線距離和正方體的性質等知識，考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題．