Question

（2013•�？诙�模）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，過焦點F傾斜角為30°的直線交拋物線于A，B兩點，點A，B在拋物線準線上的射影分別是A′，B′，若四邊形AA′B′B的面積為48，則拋物線的方程為

y2=2

2

x

．

Answer 1

分析：設出直線方程，代入拋物線方程，利用韋達定理計算|AB|，結合拋物線的定義及四邊形的面積，即可求得拋物線的標準方程．

解答：解：由題意，設直線方程為y=

3

3

(x-

p

2

)，代入y²=2px，
整理可得x2-7px+

p2

4

=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=7p，x₁x₂=

p2

4

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=4

3

p
∴|AB|=

2

|x₁-x₂|=4

6

p
∵四邊形AA′B′B的面積為48，
∴

|AA′|+|BB′|

2

×

|AB|

2

=48
∴

(4 6 p)2

4

=48
∴p=

2

∴拋物線的方程為y2=2

2

x
故答案為：y2=2

2

x

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的定義與標準方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．