Question

已知正方形ABCD的邊長為2，在正方形及其內部任選一點P（在正方形及其內部點的選取都是等可能的），作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，矩形PMAN的面積為S．
（1）請建立適當的坐標系，設P（x，y），寫出x，y滿足的條件，并作出滿足S≤1的P點的區域；
（2）求S≤1的概率．

Answer 1

分析：（1）分別以AB、AD為x軸、y軸，建立直角坐標系．根據矩形的面積公式得P坐標為（x，y）時，S=xy≤1對應的區域在曲線y=

1

x

的下方、且在正方形內部的部分．由此可得相應的不等式組并作出圖形如圖所示．
（2）根據定積分的幾何意義，利用積分計算公式算出陰影部分面積為ln4+1，結合正方形ABCD的面積為4利用幾何概型計算公式，即可算出S≤1的概率．

解答：解：（1）以直線AB為x軸，AD為y軸，A為坐標原點建立直角坐標系．-------（1分）
∵點P（x，y）在正方形及其內部，
∴S=xy（0≤x≤2，0≤y≤2）．-----------（3分）
故滿足滿足S≤1的P（x，y）點滿足的條件是

0≤x≤2 0≤y≤2 xy≤1

-----------（5分）
P點的區域如右圖所示．-----------------------（7分）
（2）P點所在的區域面積為
S=2

∫

2 1

1

x

dx+1×1=2(lnx)

|

2 1

 +1=2ln2+1=ln4+1，-------（12分）
∵正方形ABCD的面積為S'=4，
∴滿足S≤1的概率為P=

S

S′

=

ln4+1

4

．------------------（14分）

點評：本題著重考查了不等式組表示的平面區域、定積分的幾何意義與積分計算公式和幾何概型計算公式等知識，屬于中檔題．