Question

(2007 江蘇淮陰)已知動圓過定點P(1，0)，且與定直線l:x=－1相切，點C在l上．

(1)求動圓圓心的軌跡M的方程．

(2)設過點P，且斜率為的直線與曲線M相交于A、B兩點．

①問：△ABC能否為正三角形?若能，求點C的坐標；若不能，說明理由．

②當△ABC為鈍角三角形時，求這時點C的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

如下圖，(1)設M(x，y)，依題意有，．化簡得：． (2)①依題意得，直線AB的方程為．由消y得，解得，．所以A點坐標為，B點坐標為，． 假設存在點C(－1，y)，使△ABC為正三角形，則且，即 由①－②得，解得． 但不符合①， 所以由①，②組成的方程組無解． 因此，直線l上不存在點C，使得△ABC是正三角形． ②解法一：設C(－1，y)使△ABC成純角三角形，由得， 即當點C的坐標為時，A、B、C三點共線，故． 又， ，． 當∠CAB為鈍角時，． 即， 即，即時，∠CAB為鈍角． 當，即 ，即時，∠CBA為鈍角． 又，即，，． 該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角． 因此，當△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是 或． 解法二：以AB為直徑的圓的方程為． 圓心到直線l:x=－1的距離為，所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點． 當直線l上的C點與G重合時，∠ACB為直角，當C與G點不重合，且A、B、C三點不共線時，∠ACB為銳角，即△ABC中，∠ACB不可能是鈍角． 因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角． 過點A且與AB垂直的直線方程為． 令x=－1得． 過點B且與AB垂直的直線方程為． 令x=－1得． 又由解得， 所以，當點C的坐標為(－1，)時，A、B、C三點共線，不構成三角形． 因此，當△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是或．