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已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C所截得的弦AB為直徑的圓經過原點？若存在，寫出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

解析：假設直線l存在，設l的方程為y=x+m.

由

得2x2+2(m+1)x+m2+4m-4=0.      （*）

設A（x1,y1）、B(x2,y2)，則x1+x2=-(m+1)，x1x2=.

∵以AB為直徑的圓為（x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,

若它經過原點，則x1x2+y1y2=0.又y1y2

=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2,

∴2x1x2+m(x1+x2)+m2=0.

∴m2+3m-4=0,m=-4或m=1.

當m=-4或m=1時，（*）式的Δ＞0,

∴所求直線l的方程是x-y-4=0或x-y+1=0.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2-6x-4y+8=0．以圓C與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條件雙曲線的標準方程為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）一個圓與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0所截得的弦長為2
7
，求此圓方程．
（2）已知圓C：x2+y2=9，直線l：x-2y=0，求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•普陀區一模）如圖，已知圓C：x2+y2=r2與x軸負半軸的交點為A．由點A出發的射線l的斜率為k，且k為有理數．射線l與圓C相交于另一點B．
（1）當r=1時，試用k表示點B的坐標；
（2）當r=1時，試證明：點B一定是單位圓C上的有理點；（說明：坐標平面上，橫、縱坐標都為有理數的點為有理點．我們知道，一個有理數可以表示為
qp
，其中p、q均為整數且p、q互質）
（3）定義：實半軸長a、虛半軸長b和半焦距c都是正整數的雙曲線為“整勾股雙曲線”．
當0＜k＜1時，是否能構造“整勾股雙曲線”，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點B的橫坐標、縱坐標和半徑r的數值構成？若能，請嘗試探索其構造方法；若不能，試簡述你的理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•瀘州一模）已知圓C：x2+y2=r2（r＞0）與拋物線y2=40x的準線相切，若直線l：
x
a
+ 
y
b
=1與圓C有公共點，且公共點都為整點（整點是指橫坐標．縱坐標都是整數的點），那么直線l共有（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2=4與直線L：x+y+a=0相切，則a=（　�。�

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