Question

（2013•普陀區二模）對于任意的n∈N^*，若數列{a_n}同時滿足下列兩個條件，則稱數列{a_n}具有“性質m”：
①

an+an+2

2

＜an+1；          
②存在實數M，使得a_n≤M成立．
（1）數列{a_n}、{b_n}中，a_n=n、bn=2sin

nπ

6

（n=1，2，3，4，5），判斷{a_n}、{b_n}是否具有“性質m”；
（2）若各項為正數的等比數列{c_n}的前n項和為S_n，且c3=

1

4

，S3=

7

4

，求證：數列{S_n}具有“性質m”；
（3）數列{d_n}的通項公式dn=

t (3•2n-n)+1

2n

（n∈N^*）．對于任意n∈[3，100]且n∈N^*，數列{d_n}具有“性質m”，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在數列{a_n}中，令n=1可驗證不滿足條件①；在數列{b_n}中，按“性質m”的定義驗證條件①②即可；
（2）將c3=

1

4

代入S₃=

c3

q2

+

c3

q

+c3=

7

4

可求得q，從而求得c_n，S_n，利用放縮法可驗證數列{S_n}滿足

Sn+Sn+2

2

＜Sn+1及S_n＜2；
（3）寫出d_n+1，d_n+2，數列{d_n}具有“性質m”，由條件①得d_n+d_n+2＜2d_n+1恒成立，代入后化簡分離出t，轉化為最值問題可得t的范圍，在該范圍下可判斷數列{d_n}為遞增數列，從而可知{d_n}最大項的值為d₁₀₀，由此知存在M滿足條件②，從而得知t的范圍；

解答：（1）解：在數列{a_n}中，取n=1，則

a1+a3

2

=2=a2，不滿足條件①，
所以數列{a_n}不具有“m性質”；
在數列{b_n}中，b₁=1，b2=

3

，b₃=2，b4=

3

，b₅=1，
則b1+b3=3＜2

3

=2b2，b2+b4=2

3

＜4=2b3，b3+b5=3＜2

3

=2b4，所以滿足條件①；
bn=2sin

nπ

6

≤2（n=1，2，3，4，5）滿足條件②，
所以數列{b_n}具有“性質m”．
（2）證明：由于數列{c_n}是各項為正數的等比數列，則公比q＞0，
將c3=

1

4

代入S₃=

c3

q2

+

c3

q

+c3=

7

4

，得6q²-q-1=0，解得q=

1

2

或q=-

1

3

（舍去），
所以c₁=1，cn=

1

2n-1

，Sn=2-

1

2n-1

，
對于任意的n∈N^*，

Sn+Sn+2

2

=2-

1

2n

-

1

2n+2

＜2-

1

2n

=Sn+1，且S_n＜2，
所以數列{S_n}滿足條件①和②，所以數列{S_n}具有“m性質”；
（3）由于d_n=3t-

tn-1

2n

，則dn+1=3t-

t(n+1)-1

2n+1

，dn+2=3t-

t(n+2)-1

2n+2

，
由于任意n∈[3，100]且n∈N^*，數列{d_n}具有“性質m”，所以d_n+d_n+2＜2d_n+1，
即

tn-1

2n

+

t(n+2)-1

2n+2

＞2×

t(n+1)-1

2n+1

，
化簡得，t（n-2）＞1，即t＞

1

n-2

對于任意n∈[3，100]且n∈N^*恒成立，
所以t＞1①，
dn+1-dn=

tn-1

2n

-

t(n+1)-1

2n+1

=

t(n-1)-1

2n+1

，
由于n∈[3，100]及①，
所以d_n+1＞d_n，即n∈[3，100]時，數列{d_n}是單調遞增數列，
所以{d_n}最大項的值為d100=3t-

100t-1

2100

，
滿足條件②只需3t-

100t-1

2100

≤M即可，所以這樣的M存在②，
所以t＞1即可．

點評：本題考查等差數列、等比數列的綜合，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決新問題的能力，考查學生對題目的閱讀理解能力，對能力要求較高．