Question

附加題：如圖，過橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）上一動點P引圓x²+y²=b²的兩條切線PA，PB（A，B為切點）．直線AB與x軸、y軸分別交于M、N兩點．
①已知P點的坐標為（x₀，y₀），并且x₀•y₀≠0，試求直線AB的方程；    
②若橢圓的短軸長為8，并且

a2

|OM|2

+

b2

|ON|2

=

25

16

，求橢圓C的方程；
③橢圓C上是否存在P，由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，求出存在的條件；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設A （x₁，y₁），B （x₂，y₂），切線PA：x₁x+y₁y=b²，PB：x₂x+y₂y=b²，由P點在切線PA、PB上，能求出直線AB的方程．
（2）在x₀x+y₀y=b²中，2b=8⇒b=4，b²=16，分別令y=0，得|OM|=

16

x0

，x=0 得|ON|=

16

y0

．代入

a2

|OM|2

+

b2

|ON|2

=

25

16

，得：

a2x02

162

+

y02

16

=

25

16

．由此能求出橢圓C的方程．
（3）假設存在點P（x₀，y₀）滿足PA⊥PB，連OA、OB，由|PA|=|PB|，知四邊形PAOB為正方形，|OP|=

2

|OA|．所以x₀²+y₀²=2b²，又P在橢圓上，所以a²x₀²+b²y₀²=a²b²，所以x02=

b2(a2-2b2)

a2-b2

，y02=

a2b2

a2-b2

．由此知當a²≥2b²＞0時，橢圓C上存在點P₁滿足條件，當a²＜2b²時，橢圓C上不存在滿足條件的點P．

解答：解：（1）設A （x₁，y₁），B （x₂，y₂）切線PA：x₁x+y₁y=b²，PB：x₂x+y₂y=b²，
∵P點在切線PA、PB上，∴x₁x₀+y₁y₀=b²，x₂x₀+y₂y₀=b²．
∴直線AB的方程為x₀x+y₀y=b²．
（2）在x₀x+y₀y=b²中，2b=8⇒b=4，b²=16，
分別令y=0，得|OM|=

16

x0

，x=0 得|ON|=

16

y0

代入

a2

|OM|2

+

b2

|ON|2

=

25

16

，得：

a2x02

162

+

y02

16

=

25

16

①
又P（x₀，y₀）在橢圓上：

y02

a2

+

x02

16

=1②⇒y02=(1-

x02

16

)a2代入①⇒a²=25∴所求橢圓為：

y2

25

+

x2

16

=1（xy≠0）
（3）假設存在點P（x₀，y₀）滿足PA⊥PB，連OA、OB，
由|PA|=|PB|，知四邊形PAOB為正方形，|OP|=

2

|OA|∴x₀²+y₀²=2b²①又P在橢圓上∴a²x₀²+b²y₀²=a²b²②
由①、②知：x02=

b2(a2-2b2)

a2-b2

，y02=

a2b2

a2-b2

∵a＞b＞0∴a²＞b²，
所以 當a²≥2b²＞0，即a≥

2

b時，橢圓C上存在點P₁滿足條件，
當a²＜2b²，即b＜a＜

2

b時，橢圓C上不存在滿足條件的點P．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．