Question

（2011•昌平區二模）已知函數f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）函數y=f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為

3

2

，若函數g（x）=

1

3

x3+x2[f′(x)+m]，在區間（1，3）上不是單調函數，求 m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用導數求函數的單調區間的步驟是①求導函數f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數的增區間（或減區間）；
（II）對函數進行求導，令導函數等于0在區間（1，3）上有解，然后建立關系式，解之即可．

解答：解：（Ⅰ） f′(x)=

a(1-2x)

x

(x＞0)（2分）
當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，

1

2

]，減區間為[

1

2

，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調增區間為[

1

2

，+∞），減區間為（0，

1

2

]；
（II）f′(2)=

a(1-2×2)

2

=

3

2

∴a=-1
∴f（x）=-lnx+2x+3
g（x）=

1

3

x3+x2[f′(x)+m]
=

1

3

x3+（m+2）x²-x
g'（x）=x²+2（m+2）x-1
函數g（x）=

1

3

x3+x2[f′(x)+m]，在區間（1，3）上不是單調函數，
∴g'（x）=x²+2（m+2）x-1=0在（1，3）上有解
則

g′(1)＜0 g′(3)＞0

解得-

10

3

＜m＜-2
∴m的取值范圍為（-

10

3

，-2）．

點評：本題考查利用函數的導數來求函數的單調區間，在區間（a，b）上存在極值，則在區間（a，b）上不單調，屬于中檔題．