Question

（1）如圖，已知α、β是坐標平面內的任意兩個角，且0≤α-β≤π，證明兩角差的余弦公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）已知α∈(0，

π

2

)，β∈(

π

2

，π)，且cosβ=-

1

3

，sin(α+β)=

7

9

，求2cos2α+cos²α的值．

Answer 1

分析：（1）設P₁、P₂分別為α、β終邊與單位圓的交點，表示出P₁、P₂坐標，利用平面向量的數量積運算法則根據兩點坐標表示出

OP1

•

OP2

，再由

OP1

•

OP2

的夾角為α-β，兩向量模為1，利用平面向量數量積運算法則表示出

OP1

•

OP2

，即可得證；
（2）由β的范圍求出sinβ大于0，根據cosβ的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinβ的值，由α與β的范圍求出α+β的范圍，根據sin（α+β）的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cos（α+β）的值，由cosα=cos[（α+β）-β]，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡后，將各自的值代入計算求出cosα的值，所求式子第一項利用二倍角的余弦函數公式化簡后，去括號合并將cosα的值代入計算即可求出值．

解答：（1）證明：設P₁、P₂分別為α、β終邊與單位圓的交點，
∴P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，sinβ），
∴

OP1

•

OP2

=cosαcosβ+sinαsinβ，
又∵

OP1

•

OP2

的夾角為α-β，
∴

OP1

•

OP2

=|OP₁|•|OP₂|cos（α-β）=cos（α-β），
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）∵β∈（

π

2

，π），cosβ=-

1

3

，
∴sinβ=

1-cos2β

=

2 2

3

，
∵α∈（0，

π

2

），∴α+β∈（

π

2

，

3π

2

），
∵sin（α+β）=

7

9

，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

4 2

9

，
∴cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=

2 2

3

，
則2cos2α+cos²α=2（2-cos²α1）+cos²α=5cos²α-2=

22

9

．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數公式，二倍角的余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及平面向量的數量積運算，熟練掌握公式是解本題的關鍵．