Question

已知向量，其中，（x，y，c∈R），把其中x，y所滿足的關系式記為y=f（x），若函數f（x）為奇函數．
（Ⅰ） 求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ） 已知數列{a_n}的各項都是正數，S_n為數列{a_n}的前n項和，且對于任意n∈N^*，都有“{f（a_n）}的前n項和等于S_n²，”求數列{a_n}的通項式；
（Ⅲ） 若數列{b_n}滿足，求數列{b_n}的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據向量平行得出函數y=f（x），再利用函數f（x）為奇函數，可求c=1，從而可得函數f（x）的表達式；
（Ⅱ） 根據條件對于任意n∈N^*，都有“{f（a_n）}的前n項和等于S_n²，寫出兩等式，兩式相減可得∴{a_n}為公差為1的等差數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）根據a_n=n（n∈N^*），可得b_n=4ⁿ-a•2ⁿ⁺¹=（2ⁿ-a）²-a²，由于2ⁿ≥2，故需對a進行分類討論．
解答：解：（Ⅰ）∵∴，
因為函數f（x）為奇函數．所以c=1，⇒f（x）=x³（x≠0）…（4分）
（Ⅱ）由題意可知，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=S_n²⇒a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²…..①
n≥2時∴a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²…②
由①-②可得：a_n³=S_n²-S_n-1²=a_n（S_n+S_n-1），
∵{a_n}為正數數列∴a_n²=S_n+S_n-1…③…（2分）∴a_n+1²=S_n+1+S_n…④
由④-③可得：a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n∵a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1，…（2分）
且由①可得a₁³=a₁²，a₁＞0⇒a₁=1，a₁³+a₂³=S₂²，a₂＞0⇒a₂=2，∴a₂-a₁=1∴{a_n}為公差為1的等差數列，∴a_n=n（n∈N^*）…（2分）
（Ⅲ）∵a_n=n（n∈N^*），∴b_n=4ⁿ-a•2ⁿ⁺¹=（2ⁿ-a）²-a²（n∈N^*）…（2分）
令2ⁿ=t（t≥2），∴b_n=（t-a）²-a²（t≥2）
（1）當a≤2時，數列{b_n}的最小值為：當n=1時，b₁=4-4a．…（2分）
（2）當a＞2時
①若a=2^k+1（k∈N^*）時，數列{b_n}的最小值為當n=k+1時，b_k+1=-a²．…（1分）
②若時，數列{b_n}的最小值為，當n=k或n=k+1時，b_k=b_k+1=（2^k-a）²-a²．…（1分）
③若時，數列{b_n}的最小值為，當n=k時，b_k=（2^k-a）²-a²…（1分）
④若時，數列{b_n}的最小值為，當n=k+1時，b_k+1=（2^k+1-a）²-a²．…（1分）
點評：本題的考點是數列與向量的綜合，主要考查向量共線條件的運用，考查數列通項公式的求解，考查了函數的最值，關鍵是正確分類．