Question

（本題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱,,底面為直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, ,O為AD中點.

(1)求直線與平面所成角的余弦值;
(2)求點到平面的距離
(3)線段上是否存在點,使得二面角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1) ；（2）；（3）存在，且。

本試題主要是考查了立體幾何中線面角的求解，二面角的問題，以及點到面的距離。
（1）先確定出平面的垂線，然后利用已知的關系式來得到線面角的表示，進而求解。
(2)利用等體積法得到點到面的距離。
(3)建立空間直角坐標系，進而表示平面的法向量，利用向量與向量的夾角，得到二面角的平面角。
解:(1) 在△PAD中PA=PD, O為AD中點，所以PO⊥AD,
又側面PAD⊥底面ABCD, 平面平面ABCD=AD, 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
又在直角梯形中,易得;所以以為坐標原點,為軸,為
軸,為軸建立空間直角坐標系.
則,,，;
,易證:,所以平面的法向量,

所以與平面所成角的余弦值為；        ……………………………….4分
（2），設平面PDC的法向量為，
則，取得
點到平面的距離……………….8分
（3）假設存在，則設，
因為，，
所以，
設平面的法向量為，則
取，得
平面的有一個法向量為
因為二面角的余弦值為，所以
得到得或(舍)
所以存在，且                            ………………… 13分