Question

對于定義在實數集上的兩個函數，若存在一次函數使得，對任意的，都有，則把函數的圖像叫函數的“分界線”。現已知（，為自然對數的底數），

（1）求的遞增區間；

（2）當時，函數是否存在過點的“分界線”？若存在，求出函數的解析式，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）若遞增區間為，若遞增區間為，若，則遞增區間為若遞增區間為（2）存在函數的圖像是函數過點的“分界線”。

【解析】

試題分析：（1），

由得

①若，則，此時的遞增區間為；

②若，則或，此時的遞增區間為；

③若，則的遞增區間為；

④若，則或，此時的遞增區間為。

（2）當時，，假設存在實數，使不等式對恒成立，

由得到對恒成立，

則，得，

下面證明對恒成立。

設，，，

且時，，，

時，，

所以，即對恒成立。

綜上，存在函數的圖像是函數過點的“分界線”。

考點：函數單調區間及不等式恒成立

點評：第一小題求單調區間針對于不同的值對應不同的極值點，因此需對值分情況討論以求單調性；第二問在正確理解給定信息的基礎上將問題轉化為不等式恒成立問題，進而轉化為函數最值，可利用導數這一工具求解