Question

已知集合A={x|

6

x+1

＞1，x∈R}，B={x|x²+（1-m）x-m＜0，x∈R}．
（1）若A∩B={x丨-1＜x＜4}，求實數m的值；
（2）若A∪B=A，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先化簡集合A，再利用交集運算即可得出集合B，利用一元二次不等式的解集與相應的一元二次方程的兩個實數根的關系即可得出．
（2）由于A∪B=A，可得B⊆A．分類討論①B=∅時，△≤0，解出即可；②B≠∅時x²+（1-m）x-m＜0，化為（x+1）（x-m）＜0，可得-1＜x＜m或m＜x＜-1（舍去），利用B⊆A即可得出．

解答：解：（1）對于集合A：由

6

x+1

＞1，化為

x-5

x+1

＜0，化為（x+1）（x-5）＜0，解得-1＜x＜5，
∴A={x|-1＜x＜5}；
∵A∩B={x丨-1＜x＜4}，∴B={x|-1＜x＜4}．
因此-1與4是x²+（1-m）x-m=0的兩個實數根，∴-1×4=-m，解得m=4．
故m=4．
（2）∵A∪B=A，
∴B⊆A．
①B=∅時，△=（1-m）²+4m≤0，化為（1+m）²≤0，此時m=-1；
②B≠∅時x²+（1-m）x-m＜0，化為（x+1）（x-m）＜0，
∴-1＜x＜m或m＜x＜-1（舍去）
∵（-1，m）⊆（-1，5）
∴-1≤m≤5．
綜上可知：m的取值范圍是[-1，5]．

點評：熟練掌握一元二次不等式的解法、分類討論的思想方法、集合的運算及其關系是解題的關鍵．