Question

已知函數，.

（1）如果函數在上是單調減函數，求的取值范圍；

（2）是否存在實數，使得方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在，且的范圍是．

【解析】

試題分析：（1）由于是多項式函數，故對最高次項系數分類，時它是一次函數，是增函數，不是減函數，當時，是二次函數，需要考慮對稱軸和開口方向；（2）首先把方程化簡，變為，設，即方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根，轉化為討論函數的單調性及極值問題，如本題中，通過分析導函數，知在上是減函數，在上增函數，因此條件為解這個不等式組即得所求的取值范圍．

試題解析：（1）當時，在是單調增函數，不符合題意；

當時，的對稱軸方程為，由于在上是單調增函數，不符合題意；

當時，函數在上是單調減函數，則，解得．

綜上，的取值范圍是．  4分

（2）把方程整理為，

即為方程，  5分

設，原方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根，即為函數在區間內有且只有兩個零點．  6分

，

令，∵，解得或（舍），

當時，，是減函數，

當時，，是增函數．  10分

在內有且只有兩個不相等的零點，只需  11分

即　∴

解得，所以的取值范圍是．

考點：（1）單調減函數的判定；（2）方程根的個數的判定．