Question

設函數y=cos(2x-

π

3

)-cos2x-1
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）若函數y=f（x）-k在[0，

π

2

]內有零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式第一項利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數f（x）的最小正周期，根據正弦函數的單調性即可確定出單調遞增區間；
（Ⅱ）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的值域及y=f（x）-k在[0，

π

2

]內有零點，即可確定出k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-cos2x-1=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∵ω=2，∴函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，
則f（x）的單調遞增區間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∵函數y=f（x）-k在[0，

π

2

]內有零點，
∴-

3

2

≤k≤0．

點評：此題考查了二倍角的余弦，函數的零點，兩角和與差的正弦、余弦函數公式，三角函數的周期性及其求法，以及正弦函數的單調性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．