Question

已知函數的最小值為0，其中。

（1）求a的值

（2）若對任意的，有成立，求實數k的最小值

（3）證明

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）利用放縮法來證明

【解析】

試題分析：（1）的定義域為

，由，得，

當x變化時，的變化情況如下表：

x
	－	0	＋
	↘	極小值	↗

因此，在處取得最小值，故由題意，所以。

（Ⅱ）解：當時，取，有，故不合題意。

當時，令，即。

，令，得

－1。

（1）  當時，在上恒成立，因此在上單

調

（2）  遞減，從而對于任意的，總有，即在

上恒成立。故符合題意。

（2）當時，，對于，，故在內單調遞增，因此當取時，，即不成立。

故不合題意，

綜上，k的最小值為。

（Ⅲ）證明：當n＝1時，不等式左邊＝右邊，所以不等式成立。

當時，

。

在（Ⅱ）中取，得，從而

，

所以有

。

綜上，。

考點：函數恒成立問題；利用導數研究函數的極值．

點評：本題考查恒成立問題，第二問構造新函數，將問題轉化為g（x）的最大值小于等于0，

即可，這種轉化的思想在高考中經常會出現，我們要認真體會.