Question

如圖，已知A、B為兩定點，且||=2c,C為動點且滿足||=2a(a＞c＞0,a、c為常數)，D為AC中點，P在邊BC上且·=0.

（1）以AB所在直線為x軸，AB中點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，求點P的軌跡方程.

（2）若F、G是點P的軌跡上任意兩個不同的點，且線段FG的中垂線與直線AB相交，交點為Q（t,0）.

①證明：存在最小的正數M，使得t＜M,并求M的值.

②若M=，求∠APC的取值范圍.

Answer 1

解：（1）∵,?

∴?

根據橢圓定義可知P的軌跡方程為：?

(其中b²=a²-c²,b＞0)?

(2)①設G（x₁ ,y₁）,F(x ₂ ,y ₂),GF的中點（x ₀ ,y ₀）,斜率為k,?

則

(Ⅰ)-(Ⅱ)得b²x₀+a²y₀k=0.?

若k=0,則FG的中垂線為y軸t=0；?

若k≠0，則-=.?

GF的中垂線方程為y-y₀=(x-x₀)，則-y₀=(t-x₀),t=-+x₀-x₀ .?

∵FG的中垂線與AB直線相交，?

∴-a＜x₀＜a,∴-.?

∴存在最小正數M=,使得t＜M.?

②∵M=,∴,.?

設∠APB=θ,||=r₁ ,||=r₂ ,?

∴r₁+r₂=2a,?

∴.

∴0°≤θ≤60°,∴∠APC∈(120°,180°］.