Question

設
(1)求f(x)的單調區間；
(2)求f(x)的零點個數.

Answer 1

(1)見解析；(2)見解析.

試題分析：(1)先由對數函數的定義求得函數的定義域，然后對函數求導，對的取值進行分類討論，根據函數的單調性與導數的關系求得每種情況下的函數的單調區間；(2) 對的取值進行分類討論，當時分和兩種情況，由， ，結合零點存在性定理可知在上有一個零點；當時，根據函數的單調性求得函數的極小值，對極小值與0的關系分三種情況進行分類討論，結合零點存在性定理求得每種情況下的函數的零點個數.
試題解析：(1) 的定義域是，          1分
∵ ，          2分
當時，，是的增區間，    3分
當時，令，，（負值舍去）
當時，；當時，      5分
所以是的減區間，是的增區間.       6分
綜合：當時，的增區間是；
當時，的減區間是，的增區間是.         7分
(2)由(1)知道當時，在上是增函數，當時有零點，     8分
當時，， ，       .9分
(或當時，；當時，)，
所以在上有一個零點，                     10分
當時，由(1)知，在上是減函數，在上是增函數，所以當是，有極小值，其最小值為.             11分
當，即時，無零點，
當，即時，有一個零點，
當，即時，有2個零點.           13分
綜合：當時，無零點；
當時，有一個零點；
當時，有個零.        14分