Question

設連續擲兩次骰子得到的點數分別為m、n，令平面向量

a

=(m，n)，

b

=(1，-3)．
（Ⅰ）求使得事件“

a

⊥

b

”發生的概率；
（Ⅱ）求使得事件“|

a

|≤|

b

|”發生的概率；
（Ⅲ）使得事件“直線y=

m

n

x與圓（x-3）²+y²=1相交”發生的概率．

Answer 1

分析：（I）利用乘法計數原理求出所有可能的取法，利用向量垂直的充要條件得到m-3n=0，通過列舉法得到得事件“

a

⊥

b

”發生基本事件個數，利用古典概型的概率求出求出值．
（II）利用向量模的公式將事件|

a

|≤|

b

|”轉化為m²+n²≤10，通過列舉法得到該事件包含的基本事件個數，利用古典概型的概率求出求出值．
（III）由直線與圓的位置關系將事件“直線y=

m

n

x與圓（x-3）²+y²=1相交”轉化為

m

n

＜

2

4

，通過列舉法得到該事件包含的基本事件個數，利用古典概型的概率求出求出值．

解答：解：（I）由題意知，m∈{1，2，3，4，5，6}；n∈{1，2，3，4，5，6}，
故（m，n）所有可能的取法共6×6=36種（2分）
使得

a

⊥

b

，即m-3n=0，
即m=3n，共有2種（3，1）、（6，2），
所以求使得

a

⊥

b

的概率P=

2

36

=

1

18

（4分）
（Ⅱ）|

a

|≤|

b

|即m²+n²≤10，
共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）6種
使得|

a

|≤|

b

|的概率P=

6

36

=

1

6

（8分）
（Ⅲ）由直線與圓的位置關系得，d=

|3m|

m2+n2

＜1，
即

m

n

＜

2

4

，
共有

1

3

，

1

4

，

1

5

，

1

6

，

2

6

，5種，
所以直線y=

m

n

x與圓（x-3）²+y²=1相交的概率P=

5

36

（12分）

點評：求事件的概率，應該先判斷出事件所屬的概率模型，然后選擇合適的概率公式，關鍵是求出基本事件的個數，常用的方法有：列舉法、列表法、排列組合法、列樹狀圖的方法．