Question

已知φ(x)=

a

x+1

，a為正常數．（e=2.71828…）；
（理科做）（1）若f(x)=lnx+φ(x)，且a=

9

2

，求函數f（x）在區間[1，e]上的最大值與最小值
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，求a的取值范圍．
（文科做）（1）當a=2時描繪?（x）的簡圖
（2）若f(x)=?(x)+

1

?(x)

，求函數f（x）在區間[1，e]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（理科）（1）本小題需要先求出函數f(x)=lnx+

9

2(x+1)

的導函數f′(x)=

1

x

-

9

2(x+1)2

=

2x2-5x+2

2x(x+1)2

，然后得出單調區間，利用單調性來求出函數的最大和最小值，屬于基本題目；
（2）本題函數g（x）=|lnx|+φ（x）含有絕對值號，考慮到去掉絕對值較為繁瑣，也不可行，因此采用整體上處理，即構造一個新的函數來結合單調性求解，由已知

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，可以變形為

g(x2)+x2-[g(x1)+x1]

x2-x1

＜0，因此構造函數ω（x）=g（x）+x，
即ω(x)=|lnx|+x+

a

x+1

，（a＞0，x∈（0，2]），然后求解．
（文科）（1）本題的函數圖象簡圖的作法可以利用圖象變換來做，考查函數φ(x)=

2

x+1

與函數y=

2

x

的圖象之間的關系來作出；
（2）由已知求得函數的導函數，利用單調性求出函數的最大（小）值來方法同（理科）（1）類似..

解答：解：（理科）（1）∵f(x)=lnx+

9

2(x+1)

(x＞0)
∴f′(x)=

1

x

-

9

2(x+1)2

=

2x2-5x+2

2x(x+1)2

（2分）
故當

1

2

＜x＜2時，f'（x）＜0，即f（x）單調遞減，從而x∈[1，2）時，f（x）單調遞減，
當0＜x≤

1

2

或x≥2時，f'（x）≥0，即f（x）單調遞增，從而x∈[2，e]時，f（x）單調遞增，（4分）
故fmin(x)=f(2)=ln2+

3

2

，又f(1)=

9

4

＞f(e)=1+

9

2(e+1)

，故fmax=f(1)=

9

4

（2）由

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1可知

g(x2)+x2-[g(x1)+x1]

x2-x1

＜0
所以可設ω(x)=g(x)+x=|lnx|+x+

a

x+1

(a＞0，x∈(0，2])…（8分）
故由題設可知ω（x）在x∈（0，2]上為減函數，
∵ω′=

1 x +1- a (x+1)2 ，1≤x≤2 - 1 x +1- a (x+1)2 ，0＜x＜1

…（10分）
而 由

1

x

+1-

a

(x+1)2

＜0(1≤x≤2)可得a＞x2+3x+3+

1

x

(1≤x≤2)
而y=x2+3x+3+

1

x

在x∈[1，2]上是增函數，
∴a＞

27

2

．
顯然當a＞

27

2

且0＜x＜1時，-

1

x

+1-

a

(x+1)2

＜0
a=

27

2

時，也成立，
所以a的取值范圍是[

27

2

，+∞）…（14分）

（文科）（1）由已知φ(x)=

2

x+1

，其圖象是由反比例函數圖象y=

2

x

的圖象向左平行移動1個單位長度所得到，如圖：

（2）由已知f（x）=

a

x+1

+

x+1

a

     (a＞0)，于是有f′(x)=

a

(x+1)2

+

1

a

=

a2+(x+1)2

a(x+1)2

，顯然f′（x）＞0在[1，e]上恒成立，所以函數f（x）在區間[1，e]上為增函數，
所以fmax=f(e)=

a

e+1

+

e+1

a

，fmin=f(1)=

a

2

+

2

a

點評：本題考查了函數的導數及其應用，利用導數求最大（小）值，利用導數以及結合給定的函數的單調區間求解參數的范圍，另外考查了函數的圖象的畫法，綜合考查了數形結合思想，分類思想，函數與方程的思想，構造函數解決問題的思想．