Question

在直角坐標平面內，已知a＝（x+2，y），b＝（x-2，y），且|a|-|b|＝2.

（1）求點M（x，y）的軌跡C的方程；

（2）過點D（2，0）作傾斜角為銳角的直線l與曲線C交于A、B兩點，且⁼求直線l的方程；

（3）是否存在過D的弦AB，使得AB中點Q在y軸上的射影P滿足PA⊥PB？

如果存在，求出AB的弦長；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）∵|a|-|b|=2，

∴=2＜4.                             

∴M（x，y）到點F（-2，0）和D（2，0）的距離差為2.

∴M點的軌跡是以F、D為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支.

∴a=1，c=2，b²=3．

∴M點的軌跡方程是C：x²-=1（x≥1）．                           

（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∵=3，

∴（2-x₁，-y₁）=3(x₂-2，y₂)，∴y₁=-3y₂，

設x=my+2，代入C：3(my+2)²-y²=3，

(3m²-1)y²+12my+9=0．

-2y₂=y₁+y₂=，-3y₂²=y₁y₂=.                              

∴()²=,12m²=1-3m²,m²=.由已知m＞0，l：x=y+2,即y=(x-2).

（3）假設存在滿足條件的弦AB，則PQ為Rt△PAB斜邊上的中線，∴2|PQ|=|AB|．

設Q（x₀，y₀），|PQ|=x₀．

y₀==-,x₀=my₀+2=+2=．

|PQ|=＞0,m²＜．

(y₁-y₂)²=()²-4×=36×.         

|AB|²=(y₁-y₂)²+(x₁-x₂)²=(1+m²) (y₁-y₂)²=．

∴|AB|==2|PQ|=，∴m²=-，不可能成立．

∴不存在滿足條件的弦．