Question

已知函數
（Ⅰ）當時,求函數的圖象在點處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數的單調性；

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）在，為增函數，在為減函數

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）利用導數的幾何意義表示切線方程關鍵是切點和切點出的斜率值。
（2）求解導數，然后對于含有參數的二次不等式的解集進行分類討論得到。
解：（I）時,,
于是,,
所以函數的圖象在點處的切線方程為，即．
（II）
=，
∵，∴ 只需討論的符號．
ⅰ）當＞2時，＞0，這時＞0，所以函數在（－∞，+∞）上為增函數．ⅱ）當= 2時，≥0，函數在（－∞，+∞）上為增函數．
ⅲ）當0＜＜2時，令= 0，解得，．
當變化時，和的變化情況如下表：

	+	0	－	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴在，為增函數，在為減函數；
【備注題】（Ⅲ）是否存在實數，使當時恒成立？若存在，求出實數；若不存在，請說明理由．
當∈（1，2）時，∈（0，1）．由（2）知在上是減函數，在上是增函數，故當∈（0，1）時，，所以當∈（0，1）時恒成立，等價于恒成立．
當∈（1，2）時，，設，則，表明g(t) 在（0，1）上單調遞減，于是可得，即∈（1，2）時恒成立，因此，符合條件的實數不存在.