Question

已知正四面體S-ABC，M為AB之中點，則SM與BC所成的角的正切值是

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．

Answer 1

分析：取AC中點N，連接MN、NS．在△ABC中，利用中位線定理得到MN∥BC，所以∠SMN（或其補角）即為SM與BC所成的角．再設正四面體棱長為2，可在△SMN中求出三邊的長，可用余弦定理求出∠SMN的余弦值，最后用同角三角函數關系得到SM與BC所成的角的正切值．

解答：解：取AC中點N，連接MN、NS
∵△ABC中，MN是中位線
∴MN∥BC且MN=

1

2

BC
因此∠SMN（或其補角）即為SM與BC所成的角
設正四面體S-ABC棱長為2，則
正三角形SAB中，SM為中線，也是AB邊上的高
∴SM=

3

2

AB=

3

，同理可得SN=

3

△SMN中，MN=

1

2

BC=1，所以cos∠SMN=

SM2+MN2-SN2

2SM×MN

=

3

6

∴sin∠SMN=

1-cos2∠SMN

=

33

6

，tan∠SMN=

sin∠SMN

cos∠SMN

=

11

點評：本題給出一個正四面體，要我們求異面直線所成的角，著重考查了正四面體的性質、空間兩條異面直線所成角的定義和余弦定理等知識，屬于基礎題．