Question

（本題滿分12分）
已知函數（m為常數，且m>0）有極大值9.
（1）求m的值；
（2）若斜率為-5的直線是曲線的切線，求此直線方程.

Answer 1

解：(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m,
當x變化時，f’(x)與f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞,－m)	－m	(－m,)		(,+∞)
f’(x)	+	0	－	0	+
f (x)		極大值		極小值

從而可知，當x=－m時，函數f(x)取得極大值9，
即f(－m)＝－m³+m³+m³+1=9,∴m＝2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1,
依題意知f’(x)＝3x²＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.
又f(－1)＝6，f (－)＝，
所以切線方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，
即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.

略