Question

已知函數.
⑴ 求函數的單調區間；
⑵ 如果對于任意的，總成立，求實數的取值范圍；
⑶ 是否存在正實數，使得：當時，不等式恒成立？請給出結論并說明理由.

Answer 1

(1).;(2)⑶詳見解析.

試題分析：(1)利用求導的基本思路求解，注意導數的四則運算；（2）利用轉化思想將問題轉化為總成立，只需時.借助求導，研究的性質，通過對參數k的討論和單調性的分析探求實數的取值范圍；⑶通過構造函數和等價轉化思想，將問題轉化為，要使在上恒成立，只需.然后利用求導研究函數的最大值，進而證明結論.
試題解析：：(1) 由于，
所以.       (2分)
當，即時，；
當，即時，.
所以的單調遞增區間為，
單調遞減區間為.                         (4分)
(2) 令，要使總成立，只需時.
對求導得，
令，則，()
所以在上為增函數，所以.                       (6分)
對分類討論：
① 當時，恒成立，所以在上為增函數，所以，即恒成立；
② 當時，在上有實根，因為在上為增函數，所以當時，，所以，不符合題意；
③ 當時，恒成立，所以在上為減函數，則，不符合題意.
綜合①②③可得，所求的實數的取值范圍是.                    (9分)
(3) 存在正實數使得當時，不等式恒成立.
理由如下：令，要使在上恒成立，只需.                                                 (10分)
因為，且，，所以存在正實數，使得，
當時，，在上單調遞減，即當時，，所以只需均滿足：當時，恒成立.                 (12分)
注：因為，，所以