Question

（2012•武漢模擬）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知B=60°．
（Ⅰ）若cos（B+C）=-

11

14

，求cosC的值；
（Ⅱ）若a=5，

AC

•

CB

=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據B與C為三角形的內角，可得出B+C的范圍，由cos（B+C）的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sin（B+C）的值，由B的度數求出sinB和cosB的值，然后將cosC中的角C變形為（B+C）-B，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡后，將各自的值代入即可求出cosC的值；
（Ⅱ）利用平面向量的數量積運算化簡

AC

•

CB

=5，利用誘導公式變形后，將a的值代入，求出bcosC=-1，記作①，再利用正弦定理列出關系式，將a的值及B的度數代入，并由B的度數，根據三角形內角和定理得到A+C的度數，用C表示出A，代入關系式中，整理后得到一個關系式，記作②，將①代入②，得到bsinC=6

3

，再由a的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由cos（B+C）=-

11

14

，得
sin（B+C）=

1-cos2(B+C)

=

1-(- 11 14 )2

=

5 3

14

，
∴cosC=cos[（B+C）-B]=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB
=-

11

14

×

1

2

+

5 3

14

×

3

2

=

1

7

；…（6分）
（Ⅱ）由

AC

•

CB

=5，得|

AC

|•|

CB

|cos（180°-C）=5，即abcosC=-5，
又a=5，∴bcosC=-1，①
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得

a

sin(120°-C)

=

b

sin60°

，
∴

5

3 2 cosC+ 1 2 sinC

=

b

3 2

，
即

3

bcosC+bsinC=5

3

，②
將①代入②，得bsinC=6

3

，
則△ABC的面積為S=

1

2

absinC=

1

2

×5×6

3

=15

3

．…（12分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：同角三角函數間的基本關系，誘導公式，兩角和與差的余弦函數公式，平面向量的數量積運算，正弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．