Question

（本小題滿分14分）
如圖5，在三棱柱中，側棱底面,為的中點,
.
(1) 求證：平面；
(2)若四棱錐的體積為,求二面角的正切值.
圖5

Answer 1

(本小題主要考查空間線面關系、二面角的平面角、錐體的體積等知識, 考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力)
（1）證明:連接,設與相交于點,連接,
∵ 四邊形是平行四邊形,
∴點為的中點.                   
∵為的中點，
∴為△的中位線,
∴ .                  …… 2分
∵平面,平面,
∴平面.            …… 4分
(2)解: 依題意知，，
∵平面,平面,
∴ 平面平面，且平面平面.
作，垂足為，則平面，                 ……6分
設，
在Rt△中，，，
∴四棱錐的體積
.   …… 8分
依題意得，，即.                                   …… 9分
(以下求二面角的正切值提供兩種解法)
解法1:∵,平面，平面，
∴平面.
取的中點，連接，則,且.
∴平面.
作，垂足為，連接，
由于，且，
∴平面.
∵平面,
∴.
∴為二面角的平面角.                       …… 12分
由Rt△～Rt△,得,
得,
在Rt△中, .
∴二面角的正切值為.                         …… 14分
解法2: ∵,平面，平面，
 ∴平面.
以點為坐標原點,分別以,,所在直線為軸,
軸和軸,建立空間直角坐標系.
則,,,.
∴,
設平面的法向量為,
由及,得
令,得.
故平面的一個法向量為,                         …… 11分
又平面的一個法向量為,
∴,.       …… 12分
∴,.                           …… 13分
∴,.
∴二面角的正切值為.                            …… 14分

略