Question

如圖，橢圓的中心在坐標原點O，左右焦點分別為F₁，F₂，右頂點為A，上頂點為B，離心率，三角形△BF₁F₂的周長為16．直線y=kx（k＞0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E，F兩點．
（1）求該橢圓的標準方程．
（2）求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設中心在原點，長軸在x軸上的橢圓方程，焦距為2c．由題意可得a，c的關系，結合a²=b²+c²，可求a，b，c進而可求橢圓的方程；
（2）解法一：將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程：（16+25k²）x²=400
如圖，設E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），表示出四邊形AEBF的面積，最后利用基本不等式求S的最大值；
解法二：由題設，|BO|=4，|AO|=5．再設y₁=kx₁，y₂=kx₂，表示出四邊形AEBF的面積為S=S_△BEF+S_△AEF=4x₂+5y₂，最后利用基本不等式求其最大值即可．
解答：解：（1）設橢圓的方程為，焦距為2c，
依題意有，解得
∴橢圓的方程為，（5分）
（2）解法一：由消去y，得（16+25k²）x²=400
如圖，設E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，∴．①（8分）
∵直線AB的方程分別為即4x+5y-20=0，
∴點E，F到AB的距離分別為，（10分）
又，
所以四邊形AEBF的面積為
===
=，
當且僅當16=25k²即時，上式取等號．所以S的最大值為．（14分）
解法二：由題設，|BO|=4，|AO|=5．
設y₁=kx₁，y₂=kx₂，由①得x₂＞0，y₂=-y₁＞0，且
故四邊形AEBF的面積為S=S_△BEF+S_△AEF=4x₂+5y₂（10分）===，
當且僅當4x₂=5y₂時，上式取等號．所以S的最大值為．（14分）
點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓方程，直線與橢圓的位置關系的應用，體現了方程的思想的應用，要注意弦長公式的應用．