Question

（2012•江蘇一模）現有一張長為80cm，寬為60cm的長方形鐵皮ABCD，準備用它做成一只無蓋長方體鐵皮盒，要求材料利用率為100%，不考慮焊接處損失．如圖，若長方形ABCD的一個角剪下一塊鐵皮，作為鐵皮盒的底面，用余下材料剪拼后作為鐵皮盒的側面，設長方體的底面邊長為x （cm），高為y （cm），體積為V （cm³）
（1）求出x 與 y 的關系式；
（2）求該鐵皮盒體積V的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據一張長為80cm，寬為60cm的長方形鐵皮ABCD，可得得x²+4xy=4800，進而可確定x 與 y 的關系式；
（2）鐵皮盒體積V(x)=x2y=x2

4800-x2

4x

=-

1

4

x3+1200x，求導函數，確定函數的極值，極大值，也是最大值．

解答：解：（1）由題意得x²+4xy=4800，
即y=

4800-x2

4x

，0＜x＜60．  （6分）
（2）鐵皮盒體積V(x)=x2y=x2

4800-x2

4x

=-

1

4

x3+1200x，（10分）
V′(x)=-

3

4

x2+1200，令V′（x）=0，得x=40，（12分）
因為x∈（0，40），V′（x）＞0，V（x）是增函數；x∈（40，60），V'（x）＜0，V（x）是減函數，
所以V(x)=-

1

4

x3+1200x，在x=40時取得極大值，也是最大值，其值為32000cm³．
答：該鐵皮盒體積V的最大值是32000cm³．         （14分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，單峰函數極值就是最值，屬于中檔題．