Question

（2010•馬鞍山模擬）已知函數f（x）=lg（a^x-b^x）中，常數a，b滿足a＞1＞b＞0，且a-b=1，那么函數f（x）＞0的解集為（　　）

A．（0，+∞）

B．（1，+∞）

C．（2，+∞）

D．（10，+∞）

Answer 1

分析：令u（x）=a^x-b^x，利用定義判斷u（x）在x∈（0，+∞）上單調增，從而得到f（x）在x∈（0，+∞）上單調增，由a-b=1，可得f（1）=lg（a-b）=lg1=0，進而得到f（x）＞0=f（1），從而得出答案．

解答：解：由題意可得：令u（x）=a^x-b^x，不等式即 lgu（x）＞0，
∵a＞1＞b＞0，
所以u（x）在實數集上是個增函數，且u（x）＞0，
又因為u（0）=0，
所以應有  x＞0，
∴u（x）在定義域（0，+∞）上單調增，
∴f（x）=lg（a^x-b^x）在x∈（0，+∞）上單調增．
又f（1）=lg（a-b）=lg1=0，由f（x）＞0知x＞1．
故選B．

點評：考查指、對數函數性質、函數的單調性應用、對數函數的單調性與特殊點，由真數u（x）的單調性確定f（x）的單調性，利用特殊點lg1=0．中等題．