Question

已知函數f（x）是函數y=

2

10x+1

-1（x∈R）的反函數，函數g（x）的圖象與函數y=

4-3x

x-1

的圖象關于直線y=x-1成軸對稱圖形，記F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求F（x）的解析式及定義域．
（2）試問在函數F（x）的圖象上是否存在這樣兩個不同點A、B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A、B兩點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知f（x）=lg

1-x

1+x

（-1＜x＜1）．設P（x，y）是g（x）圖象上的任意一點，則P關于直線y=x-1的對稱點P′的坐標為（1+y，x-1）．由此可知g（x）=

1

x+2

（x≠-2）．從而得到F（x）的解析式及定義域．
（2）由f（x）和g（x）都是減函數，知F（x）在（-1，1）上是減函數．由此可知不存在這樣兩個不同點A、B，使直線AB恰好與y軸垂直．

解答：解：（1）由y=

2

10x+1

-1（x∈R），得10^x=

1-y

1+y

，
x=lg

1-y

1+y

．
∴f（x）=lg

1-x

1+x

（-1＜x＜1）．
設P（x，y）是g（x）圖象上的任意一點，
則P關于直線y=x-1的對稱點P′的坐標為（1+y，x-1）．
由題設知點P′（1+y，x-1）在函數y=

4-3x

x-1

的圖象上，
∴x-1=

4-3(1+y)

1+y-1

．
∴y=

1

x+2

，即g（x）=

1

x+2

（x≠-2）．
∴F（x）=f（x）+g（x）=lg

1-x

1+x

+

1

x+2

，其定義域為{x|-1＜x＜1}．
（2）∵f（x）=lg

1-x

1+x

=lg（-1+

2

1+x

）（-1＜x＜1）是減函數，
g（x）=

1

x+2

（-1＜x＜1）也是減函數，
∴F（x）在（-1，1）上是減函數．
故不存在這樣兩個不同點A、B，使直線AB恰好與y軸垂直．

點評：本題是一道綜合題，解決第（2）小題常用的方法是反證法，但本題巧用單調性法使問題變得簡單明了