Question

已知橢圓過點和點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點的直線與橢圓交于兩點，且，求直線的方程．

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：（1）將兩點代入橢圓方程可解得的值，從而可得橢圓的方程。（2）分析可知直線的斜率存在，且。設直線的方程為，與橢圓方程聯立消去得關于的一元二次方程，因為有兩個交點故判別式應大于0.且可得根與系數的關系，從而可得的中點坐標，因為所以點和中點的連線垂直直線，即兩直線斜率之積等于。從而可求得的值。
解：（1）因為橢圓過點和點．
所以，由，得．
所以橢圓的方程為．
（2）顯然直線的斜率存在，且．設直線的方程為．
由消去并整理得，
由，．
設，，中點為，
得，．
由，知，
所以，即．
化簡得，滿足．
所以．
因此直線的方程為．
考點：1橢圓的標準方程；2直線與圓錐曲線的位置關系問題；3兩直線垂直時斜率的關系。