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已知直線AB與拋物線y2=2px（p＞0）交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且y1y2=-p2．   求證：直線AB經(jīng)過拋物線的焦點．
分析：設直線AB的方程為：y=kx+b，由
y=kx+b
y2=2px
，得k2x2+（2bk-2p）x+b2=0，由A（x1，y1），B（x2，y2），知x1•x2=
b2
k2
，由y2=2px（p＞0），y1y2=-p2，知x1x2 =
y12
2p
•
y22
2p
=
p4
4p2
=
b2
k2
，由此能夠證明直線AB經(jīng)過拋物線的焦點．
解答：證明：設直線AB的方程為：y=kx+b，
由
y=kx+b
y2=2px
，得（kx+b）2=2px，
整理，得k2x2+（2bk-2p）x+b2=0，
∵A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1•x2=
b2
k2
，
∵y2=2px（p＞0），y1y2=-p2，
∴x1x2 =
y12
2p
•
y22
2p
=
p4
4p2
=
b2
k2
，
∴k=
2b
p
，或k=-
2b
p
，
∴y=
2b
p
x+b（舍）或y=-
2b
p
x+b，
當y=0時，x=
p
2
．
故直線AB經(jīng)過拋物線的焦點F（
p
2
，0）．
點評：本題考查拋物線的性質(zhì)和應用，是中檔題．解題時要認真審題，注意直線和拋物線位置關系的應用，合理地運用韋達定理進行求解．
練習冊系列答案
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已知直線AB與拋物線y2=4x交于A，B兩點，M為AB的中點，C為拋物線上一個動點，若C0滿足
C0A
•
C0B
=min{
CA
•
CB
}，則下列一定成立的是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知直線AB與拋物線y2=2px（p＞0）交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且y1y2=-p2．　 求證：直線AB經(jīng)過拋物線的焦點．

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已知直線AB與拋物線y2=4x交于A，B兩點，M為AB的中點，C為拋物線上一個動點，若C滿足，則下列一定成立的是（ ）
A．CM⊥AB
B．CM⊥l，其中l(wèi)是拋物線過C的切線
C．CA⊥CB
D．

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