Question

已知函數(shù)f(x)=-lnx,x∈(0,e).曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(t,f(t))處的切線(xiàn)與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積的最大值.

Answer 1

解:由已知f′(x)=-,所以曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(t,f(t))處的切線(xiàn)方程為y+lnt=-(x-t).

令y=0,得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_A=t(1-lnt),

令x=0,得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為x_B=1-lnt,

當(dāng)t∈(0,e)時(shí)，x_A＞0,x_B＞0,此時(shí)△AOB的面積S＝t(1-lnt)²,S′=(lnt-1)(lnt+1),

解S′＞0,得0＜t＜;解S′＜0，得＜t＜e.

所以(0,)是函數(shù)S＝t(1-lnt)²的增區(qū)間;(,e)是函數(shù)的減區(qū)間。

所以，當(dāng)t=時(shí)△AOB的面積大，最大值為×（1-ln）²=.