Question

三角形的三內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設向量

m

=(c-a，b-a)，

n

=(a+b，c)，若

m

∥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）用A表示sinA+sinC，記作f（A），求函數y=f（A）的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）利用兩向量平行的性質以及兩向量的左邊可求得a，b和c的關系式，代入余弦定理中求得cosB的值，進而求得B．
（2）根據（1）中B，可知A+C=

2π

3

，進而可把sinC轉化成sin（

2π

3

-A），展開后，利用兩角和公式化簡，利用正弦函數的單調區間得到函數y=f（A）的單調增區間即可．

解答：解：（1）因為向量

m

=(c-a，b-a)，

n

=(a+b，c)，并且

m

∥

n

，
所以c（c-a）=（a+b）（b-a），即c²-ac=b²-a²，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

∴B=

π

3

（2）∵A+B+C=π，∴A+C=

2π

3

∴sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

sin（A+

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤A+ 

π

6

≤2kπ+

π

2

可得：2kπ-

2π

3

≤A≤2kπ+

π

3

，
又因為0＜A＜

2π

3

，
所以0＜A≤

π

3

．
所以函數y=f（A）的單調增區間為（0，

π

3

]．

點評：本題主要考查了余弦定理的應用，兩角和公式的化簡求值與正弦函數的有關性質．考查了學生分析問題的能力和基本運算的能力．