Question

10、設f（x）=|x|x+bx+c，給出下列命題中，所有正確的命題序號是

①②

．
①b=0，c＞0時，f（x）=0僅有一個根；
②c=0時，y=f（x）為奇函數；
③y=f（x）的圖象關于點（0，1）對稱；
④f（x）=0至少有兩個實數根．

Answer 1

分析：①由b=0，c＞0，將函數轉化為f（x）=|x|x+c=0，易知只有一負根；
②由c=0，將函數轉化為f（x）=|x|x+bx，再由f（-x）=-（|x|x+bx）=-f（x），得到函數是奇函數；
③當c=1時，函數為f（x）=|x|x+bx+1，其圖象是由f（x）=|x|x+bx的圖象向上平移一個單位得到的，所以y=f（x）的圖象才關于點（0，1）對稱，c為其他值時，不關于（0，1）對稱．
④當x＞0時，若f（x）=0無根時，由當x＜0時開口向下，圖象向下無限延展，f（x）與x軸只有一個交點．

解答：解：①b=0，c＞0時，f（x）=|x|x+c=0只有一負根，正確；
②c=0時，f（x）=|x|x+bx，而f（-x）=-（|x|x+bx）=-f（x），是奇函數；正確
③當c=1時，y=f（x）的圖象關于點（0，1）對稱，所以不正確
④當x＞0時，△=b²-4c＜0f（x）=0無根，則在x＜0時f（x）=0只有一根．所以不正確
故答案為：①②

點評：本題主要考查二次函數的圖象變換，這里考查的是絕對值變換，還考查了對稱性，奇偶性，相應方程根的問題．