Question

(本小題滿分14分)
已知函數f(x)=log2.
（1）判斷并證明f(x)的奇偶性;
（2）若關于x的方程f(x)=log2(x-k)有實根，求實數k的取值范圍;
（3）問：方程f(x)=x+1是否有實根？如果有，設為x0，請求出一個長度
為的區間(a,b)，使x0∈(a,b)；如果沒有，請說明理由.
（注：區間(a,b)的長度為b-a）

Answer 1

（1）f(x)是奇函數
（2）(-∞,1)。
（3）區間(-,-)的中點g(-)>0(4')

解：（1）由得-1<x<1，所以函數f(x)的定義域為(-1,1)；              (2')
因為f(-x)+f(x)=log2+log2=log2=log21=0，
所以f(-x)=-f(x)，即f(x)是奇函數。                                      (4')
（2）方程f(x)=log2(x-k)有實根，也就是方程=x-k即k=x-在(-1,1)內有解，所以實數k屬于函數y=x-=x+1-在(-1,1)內的值域。                  (6')
令x+1=t，則t∈(0,2)，因為y=t-在(0,2)內單調遞增，所以t-∈(-∞,1)。
故實數k的取值范圍是(-∞,1)。                                           (8')
（3）設g(x)=f(x)-x-1=log2-x-1(-1<x<1)。
因為，且y=log2x在區間(0,+∞)內單調遞增，所以log2<log223，即4log2<3，亦即log2<。于是g(-)=log2-<0。                ①     (10')
又∵g(-)=log2->1->0。                                   ②     (12')
由①②可知，g(-)·g(-)<0，所以函數g(x)在區間(-,-)內有零點x0。
即方程f(x)=x+1在(-,-)內有實根x0。                                  (13')
又該區間長度為，因此，所求的一個區間可以是(-,-)。(答案不唯一)      (14')
思路提示：用“二分法”逐步探求，先算區間(-1,1)的中點g(0)=-1<0(1')，由于g(x)在(-1,1)內單調遞減，于是再算區間(-1,0)的中點g(-)=log23->0(2')，然后算區間(-,0)的中點 g(-)<0(3')，最后算區間(-,-)的中點g(-)>0(4')。