Question

某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規律：每生產產品x(百臺)，總成本為G(x)(萬元)，其中固定成本為2萬元，并且每生產1百臺的生產成本為1萬元(總成本＝固定成本＋生產成本)；銷售收入R(x)(萬元)滿足：R(x)＝假定該產品產銷平衡，那么根據上述統計規律求下列問題．
(1)要使工廠有贏利，產量x應控制在什么范圍內？
(2)工廠生產多少臺產品時，可使贏利最多？

Answer 1

（1）大于100臺，小于820（2）400臺

依題意，G(x)＝x＋2，設利潤函數為f(x)，則
f(x)＝
(1)要使工廠有贏利，即解不等式f(x)>0，
當0≤x≤5時，解不等式－0.4x²＋3.2x－2.8>0，
即x²－8x＋7<0，得1<x<7，
∴1<x≤5.
當x>5時，解不等式8.2－x>0，得x<8.2，
∴5<x<8.2.
綜上所述，要使工廠贏利，x應滿足1<x<8.2，即產品產量應控制在大于100臺，小于820臺的范圍內．
(2)0≤x≤5時，f(x)＝－0.4(x－4)²＋3.6，
故當x＝4時，f(x)有最大值3.6；
而當x>5時，f(x)<8.2－5＝3.2.
所以，當工廠生產400臺產品時，贏利最多