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已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a≥2b＞0)．
（1）求橢圓C的離心率的取值范圍；
（2）若橢圓C與橢圓2x2+5y2=50有相同的焦點，且過點M（4，1），求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
分析：（1）利用離心率公式，結(jié)合a≥2b及0＜e＜1，可確定橢圓C的離心率的取值范圍；
（2）由2x2+5y2=50確定其焦點，結(jié)合點M（4，1）在橢圓C上，即可求橢圓C的方程、
解答：解：（1）離心率e=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1-
b2
a2
…（1分）
∵a≥2b，∴
b
a
≤
1
2
，
∴e=
1-
b2
a2
≥
1-
1
4
=
3
2
，…（3分）
又0＜e＜1，
∴e∈[
3
2
，1)…（4分）
（2）由2x2+5y2=50得
x2
25
+
y2
10
=1，其焦點為(±
15
，0)…（5分）
點M（4，1）在橢圓C上，
∴
16
a2
+
1
b2
=1①…（6分）
又a2-b2=15，即a2=b2+15②…（7分）
代入①得b4-2b2-15=0，解得b2=5或b2=-3（舍去）  …（9分）
∴a2=20，
故所求橢圓C的方程為
x2
20
+
y2
5
=1．…（10分）
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，熟練掌握橢圓幾何量之間的關(guān)系是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，橢圓C的左、右焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），斜率為k（k≠0）的直線l經(jīng)過點F2，交橢圓于A、B兩點，且△ABF1的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點E為x軸上一點，
AF2
=λ
F2B
（λ∈R），若
F1F2
⊥(
EA
+λ
BE
)，求點E的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•崇明縣二模）已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
2
= 1（a＞0），其焦點在x軸上，點Q(
2
2
，
7
2
)為橢圓上一點．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動點P（x0，y0）滿足
OP
=
OM
+2
ON
，其中M、N是橢圓C上的點，直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，求證：
x
2
0
+2
y
2
0
為定值；
（3）在（2）的條件下探究：是否存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•河北區(qū)一模）已知橢圓C的方程為 
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0），過其左焦點F1（-1，0）斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點．
（Ⅰ）若
OP
+
OQ
與
a
=（-3，1）共線，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x+y-
1
2
=0，在l上求一點M，使以橢圓的焦點為焦點且過M點的雙曲線E的實軸最長，求點M的坐標(biāo)和此雙曲線E的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1，過C的右焦點F的直線與C相交于A、B兩點，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
與
m
-
OF
共線，則直線AB的方程是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1，過C的右焦點F的直線與C相交于A、B兩點，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
與
m
-
OF
共線，則直線AB的方程是（　　）
A．2x-y-2=0B．2x+y-2=0C．2x-y+2=0D．2x+y+2=0

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同步練習(xí)冊答案